☛ ** Intersection des médiatrices d'un triangle

On souhaite démontrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point.

Soit \(\text{ABC}\) un triangle (non aplati).
On note \(\text{A}'\) le milieu de \([\text{BC}]\),  \(\text{B}'\) le milieu de \([\text{AC}]\) et \(\text{C}'\) le milieu de \([\text{AB}]\).
Soit \((d_\text{1})\) la médiatrice de \([\text{BC}]\), \((d_\text{2})\) la médiatrice de \([\text{AC}]\) et \((d_\text{3})\) la médiatrice de \([\text{AB}]\).

1. Faire une figure.

2. On raisonne par l'absurde et on suppose que les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles.
    a. Démontrer que cela implique que les droites \((\text{AC})\) et \((\text{BC})\) sont parallèles.
    b. En déduire que les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont sécantes.

On appelle \(\text{O}\) le point d'intersection des droites  \((d_1)\) et \((d_2)\).

3. Démontrer que l'on a \(\text{OC}=\text{OA}=\text{OB}\).

4. Conclure.